Ejercicio 2-20. La Carta de Smith.

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica.

Unidad Zacatenco.

Nota: Algunos datos del problema fueron cambiados.

Ejercicio 2-20.

Una línea sin pérdidas con Z₀= 100 Ω termina en corto circuito. La línea mide 1.8λ a cierta frecuencia de trabajo. Use la carta de Smith y encuentre:

a) La impedancia de entrada
b) La posición del primer máximo de voltaje más cercano al generador
c) El VSWR de la línea.

Solución.

a) La carta es un circuito cerrado (r= 0, x= 0) y, por lo tanto, su posición en la carta de Smith es la indicada por el punto A. La magnitud del coeficiente de reflexión es 1, y el círculo de |ρ_v| constante coincide con el círculo r= 0. Para llegar a la entrada de la línea hay que desplazarse 1.8λ desde el punto A hacia el generador. Finalmente, la impedancia normalizada de entrada corresponde al punto B:

b) De la fiura, podría decirse rápidamente que el primer máximo de voltaje más cercano al generador está a una distancia de 0.05λ, medida desde el principio de la línea hacia al carga. Para determinar la misma respuesta con la carta de Smith, debe recordarse primero que las impedancias vistas en puntos de voltaes máximos y mínimos siempre es resisitiva pura e igual, respectivamente, a (Z₀)(VSWR) y Z₀/VSWR.

El máximo de voltaje buscado estará, por lo tanto, sobre eleje real del plano complejo u-jv, o sea, sobre la línea horizontal central de la carta. La pregunta que sigue es: ¿Donde?, ¿En el extremo izquiero o en el derecho? La siguiente ecuación indica que la impedancia normalizada en un punto de voltaje máximo es:

c) En la carta de Smith, por lo tano, el VSWR se lee en el circulocorrespondiente a r para esa impedancia, sobre el eje real. Para este ejercicio se concluyó entonces que el VSWR se lee en el punto C y vale infinito, como era de esperarse de acuerdo con la teoría.

 

Ejercicio 2-19. La Carta de Smith.

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica.

Unidad Zacatenco.

Nota: Algunos datos del problema fueron cambiados.

Ejercicio 2-19.

Empleando la carta de Smith, ecnuentre la longitud mínima en metros que debe tener una línea terminada en circuito abierto para que a la entrada presente una impedancia de 50i Ω, si Z₀= 200 Ω. Considere que la ε_r del dieléctrico en la línea vale 4.3 y que la frecuencia de trabajo es de 1 GHz.

Solución.

Como r y x de la carga tienden a infinito, el punto A que indentifica a la carga (circuito abierto) está en el extremo derecho de la carga. La magnitud del coeficiente de reflexión vale 1, de modo que el círculo del coeficiente de reflexión conincide con el círculo de r= 0. Al girar en el sentido de las manecillas del reloj (desplazamiento desde la carga hacia el generador), lo necesario hasta encontrar (50i)/200= 0.25i, se determina que l= 0.289 λ (por la distancia  del giro hacia el generador).

En la línea, λ es igual a:

Por lo tanto, la longitud perdida es:

Ejercicio 2-18. La Carta de Smith.

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Unidad Zacatenco.

Nota: Algunos datos del problema fueron cambiados.

Ejercicio 2-18.

Una línea sin pérdidas con impedancia característica Z₀=100 Ω mide 2.2 longitudes de onas a cierta frecuenia de trabajo. Al final está conectada una carga Z_L=200+150i Ω. Use la carta de Smith para encontrar:

a) La impedancia de entrada de la línea.

b) El coeficiente de reflexión de voltajes (magnitud y fase) en la carga.

c) La impedancia vista en el centro de la línea

d) El coeficiente de reflexión de voltajes (magnitud y fase) en el mismo centro de la línea.

Solución.

Para utilizar la carta de Smith, el primer paso abligado es normalizar las impedancias:

La carga, entonces, queda localizada en la carta por el punto A.

a) Para transferir el punto A a la entrada de la línea, hay que trazar el círculo del coeficiente de reflexión, cuya magnitud es constante. Después, hay que avanzar sobre ese círculo, una distancia equivalente a 2.2λ, hacia el generador (en el sentido de las manesillas del reloj); cada vuelta completa equivale a 0.5λ, por lo que hay que dar cuatro vueltas más 0.2λ, medidas desde el punto A. De esta forma, se llega a la entrada de la línea (punto B), en donde la impedancia normalizada vale:

Para encontrar su valor verdadero, se desnormaliza multiplicando por Z₀.

b) El coeficiente de reflexión de voltajes en la carga se lee directamente en el punto A, que representa precisamente a la carga. Para estimar su magnitud, se toma uns regla con escala en milímetros, y se hace la operacion siguiente (regla de tres):

El ángulo del coeficiente se lee sobre la línea OC en la escala circular correspondiente, de donde: 

c) Para leer en la carta la impdancia vista en el centro de la línea, se puede partir desde B y avanzar 1.1λ hacia la carga (sentido contrario al de las manecillas del reloj), o bien se puede inicar en la carga (punto A) y desplazarse 1.1λ hacia el generador (sentido de las manecillas del reloj). El resultado obtenido sería los mismo.

Tomemos a la carga (punto A) como punto de partida. Al avanzar 1.1λ (dos vueltas más 0.1λ), se lee sobre el círculo de |ρ_v| constante laimpedancia buscada (punto D):

d) Por último, el coeficiente de reflexión de voltajes en el centro de la línea, se lee directamente en el punto D. Por facilidad de lectura en la escala de los graos, la línea OD se prolonga hasta que corte dicha escala:

La Carta de Smith

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Unidad Zacatenco.

La carta de Smith

Todos los ejercicios que se han presentado en las últimas secciones para obtener impedancias de entrada, coeficientes de reflexión, etc., tienen algo en común; son matemáticamente tediosos y hay que hacer muchos cálculos con número complejos. Para el estudiante moderno, que cuenta con calculadoras programables de increible versatilidad, lo anterior realmente no es mayor problema. Pero hace 50 años, realizar dichos cálculos requerían de muchísima paciencia. Por tal razón, en esa época se buscaron métodos alternativos gráficos, de los cuales el que cobró mayor popularidad (y aún la tiene) fue el de la carta de Smith. Este método utiliza el plano complejo del coeficiente de reflexión, sobre el cual se ubican resistencias y reactancias normalizadas. 

Ejercicio 2-17. Voltajes y corrientes en función de las variables de entrada.

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Unidad Zacatenco.

Nota: Algunos datos del problema fueron cambiados.

Ejercicio 2-17.

Una línea sin pérdida con Z₀=80 Ω  mide 2λ a cierta frecuencia de trabajo. L alínea es alimentada por un generador con V_g=10∠0° V, cuya resistencia interna es igual a 50 Ω. Al final de la línea hay una carga de 50+ 50i Ω. Encuentre:

a) El voltaje en la entrada de la línea.

b) El voltaje de la carga.

c) La relación de onda estacionaria.

d) La potencia promedio entregada a la entrada de la línea

e) La potencia promedio entregada a la carga.

Solución.

a) 

   La corriente de entrada es igual a:

   Por tanto, el voltaje de la entrada a la línea V_i, es:

b)

   En la carga el voltaje se puede obtener de la siguiente ecuación, con z=l

c)

   De las sigueintes ecuaciones:

d)

   La potencia promedio entregada a la entrada de la línea es igual a:

e)

  Finalmente, la potencia promedio entregada en la carga es:

Ejercicio 2-16. Voltajes y corrientes en función de las variables de entrada.

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Unidad Zacatenco.

Nota: Algunos datos del problema fueron cambiados.

Ejercicio 2-16.

Una línea sin pérdidas con Z₀= 200 Ω mide 3λ a cierta frecuencia de trabajo. Al final se conecta una carga de 100+80i Ω. Si se sabe que el voltaje en la carga es de 3.8∠-50° V, ¿Cuánto vale el voltaje al principio de la línea?

Solución.

De la siguiente ecuación se tiene:

En donde Βl=(2π/λ)(3λ)= 6π

Como en la carga debe cumplirse que V_L=I_LZ_L, entonces:

Y

Ejercicio 2-15. Líneas desacopladas y ondas estacionarias.

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Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica.

Unidad Zacatenco.

Nota: Algunos datos del problema fueron cambiados.

Ejercicio 2-15.

Se efectuaron mediciones con una línea rígida ranurada de Z₀= 100 Ω y terminada en una carga compleja. El primer máximo de voltaje se encontró a 35 cm de la carga, y el segundo máximo se detectó al avanzar otros 70 cm hacia el generador. El VSWR leído fue igual a 4. Encuentre:

a) El valor de la impedancia vista en el primer máximo de voltaje.
b) La posicion del primer máximo de corriente desde la carga hacia el generador
c) La frecuencia a la que se hicieron las mediciones
d) La magnitud del coeficiente de reflexión de voltajes
e) El valor de la impedancia de la carga.

Solución.

a)

b)

- En z= -35cm se encuentra el primer máximo de voltaje.

- En z= -35 -70= -105 cm se obtiene el segundo máximo de voltaje.

- Centrado entre ambos máximos debe haber un máximo de corriente de z=-35 -35= -70 cm.

- Tambien hay otro máximo de corrientede z= -35+70= 35cm, pero este se sale de la línea.

c)

λ= (2)(70)= 140 cm

d)

e)

Máxima en z= -35 cm= 0.25λ

Ejercicio 2-14. Líneas desacopladas y ondas estacionarias.

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Unidad Zacatenco.

Nota: Algunos datos del problema fueron cambiados.

Ejercicio 2-14.

Grafique la forma de las ondas estacionarias de voltaje y corriente para una línea cualquiera sin pérdidas, cuando ésta termina en:

A) Una resistencia pura mayor que Z

B) Una resistencia pura menor que Z

C) Un circuito cerrado

D) Un circuito abierto

Solución.

A)

Z_L=R_L;  Z₀=R₀;  R_L>R₀ 

Por lo tanto, el ángulo del coeficiente de reflexión es igual a 0° y la función de voltaje es máxima cuando z= 0, es decir,en la carga. En cambio, la corriente es mínima en la carga.

B)

Z_L=R_L;  Z₀=R₀;  R_L<R₀ 

Ahora Θ= -180° y al situación a la del inciso A). Es decir, en la carga se tiene corriente máxima y voltaje mínimo.

C)

Z_L= 0 (Cto. cerrado).

Aquí ρ= -1= 1∠180° y al situación es similar a la del inciso B), con corriente máxima y voltaje mínimo en la carga. Pero este voltaje mínimo en la carga ahora vale cero.

D)

Z_L→∞ (Cto. cerrado).

Como ρ= 1= 1∠0°= real positivo, se tiene algo parecido al insico A), con voltaje máximo y corriente mínima en al carga. Pero esta corriente mínima vale cero.

En base a o anterior, asl gráficas correspondientes para los cuatro casos son analizados tomando las formas siguientes:

Ejercicio 2-13. Líneas desacopladas y ondas estacionarias.

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Unidad Zacatenco.

Nota: Algunos datos del problema fueron cambiados.

Ejercicio 2-13.

Determine el valor del VSWR que tendría una línea cualquiera, sin pérdidas, cuando al finla se tuviese:

A) Una carga con impedancia igual.
B) Un corto circuito.
C) Un circuito abierto.

Solución.

A)
   Cuando Z_L=Z₀, la línea está acoplada y no se refleja nada. Por lo tanto, ρ_v= 0.

B)
   Cuando la línea termina en un corto circuito, el voltaje total en ese punto vale cero. Por lo tanto, ρ_v= -1.

C)
   Cuando la línea termina en un circuito abierto, el voltaje total en ese punto es máximo. Por lo tanto, ρ_v= +1.

Sustityendo los valores anteriores de ρ_v en la ecuación siguiente se obtiene:

Ejercicio 2-12. Líneas desacopladas y ondas estacionarias.

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Unidad Zacatenco.

Nota: Algunos datos del problema fueron cambiados.

Ejercicio 2-12.

Una línea de transmisión con Z₀= 200 Ω está terminada en una cagra con Z_L= 100+50i Ω. Encuentre el coeficiente de reflexión de voltajes a los largo de una línea en los puntos mostrados en la figura siguiente.

Solución.

El punto A corrsponde a la carga. De la siguiente ecuacion:

El punto B se halla en z= -λ/4. El ángulo del coeficiente de reflexión se obtiene de la ecuación siguiente:

De la misma forma, para los puntos restantes:

Punto C:

Punto D:

Punto E:

Ejercicio 2-11. Líneas desacopladas y ondas estacionarias.

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Unidad Zacatenco.

Nota: Algunos datos del problema fueron cambiados.

Ejercicio 2-11.

Un cable coaxila con impedancia característica de 200 Ω y aire como dieléctrico en su interior tiene conectada una carga de 120 + j 90 Ω. Obtenga el coeficiente de reflexión en donde está la carga y a 25 cm medidos desde la carga hacia el generador. Calcule también el valor del VSWR y las posociones del primer mínimo y del primero y segundo máximos de voltaje, desde la carga hacia el generador, indique estas distancias en centímetros. Considere que la frecuencia de operación es de 500 MHz.

Solución.

En la carga, el coeficiente de reflexión está dado por la siguiente ecuación.

La frecuencia es de 500MHz y λ= 1 m; por lo tanto, para la onda estacionaria, λ_e= 1m/2= 50 cm. Retroceder 25 cm, desde la carga hacia el generador, equivale a girar media vuelta en el plano complejo, en el sentido de las manecillas del reloj. Por lo tanto, en ese punto, el coeficiente de reflexión sería: 

_{El VSWR está dado por la escuación siguiente:}

Para calcular la posición de los mínimos y máximos de voltaje pedidos, se parte de la ecuacion siguiente:

Esta función es máxima cuando 2βz+θ= 0, -2π,… Es decir:

(con todo en grados o en radianes)

De donde:

Se comprueba que entre pico y pico de voltaje hay una distancia de 0.5λ. Finalmente, para calcular el primer mínimo de voltaje, la siguiente la ecuación debe minimizarse. Esto ocurre cuando 2βz+θ= -π, -3π,… Es decir:

De donde: