Ejercicio 2-9. Reactancia de entrada y aplicaciones de líneas sin pérdidas terminadas en corto circuito y en circuito abierto.

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica.

Unidad Zacatenco.

Nota: Algunos datos del problema fueron cambiados.

Ejercicio 2-9.

Se tiene un alínea sin pérdidas de longitud 0.7λ a cierta frecuencia de trabajo y está erminada en corto circuito. Sus parámetros L= 0.9 μH/m y C= 50 pF/m. Calcule su impedancia de entrada.

Solución.

La impedancia característica de la línea se calcula a partir de la siguiente ecuación:

Utilizando la siguiente ecuación se encuentra la imedancia de entrada de la línea:

Y como λ= 2π/β:

Resultado:

Z_i= j412.90 Ω

Ejercicio 2-7. Impedancia de entrada de una línea terminada en circuito abierto.

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica.

Unidad Zacatenco.

Nota: Algunos datos del problema fueron cambiados.

Ejercicio 2-7.

Se desean estimar los valores de la impedancia característica y la constante de propagración para un cable de 3 km de longitud, a una frecuencia de 3 kHz. Con tal fin, se efecturaon mediciones de la impedancia de entrada temrinando primero al cable en circuito abierto y después en circuito cerrado. Las lecturas obtenidas fueron, respectivamente, -j200 Ω y j75 Ω. ¿Cuánto valen aproximandamente Z₀ y ϒ?

Solución.

A 3 kHz, en al aire, λ₀= 3x10⁸ / 3x10³= 10⁵ = 100,000 m. Si se considera que α= 0, entonces β₀= 2π/λ₀ y:

Pero esta condición es diferente en el cable, porque el dieléctrico no es aire. Sin embargo, aun si β se duplicase y valiese 2β₀, la condición |jβ₀l| también se cumpliría en el cable y entonces se pueden amplear las aproximaciones dadas por las siguientes ecuaciones:

Se concluye que R≈ 0 y G≈ 0, y que:

Finalmente, usando las siguientes ecuaciones:

Resultados:

γ= j 2.03x10^-4 rad/m.

Z₀= 123.85 Ω.

Ejercicio 2-6. Impedancia de entrada de una línea terminada con una carga arbitraria.

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica.

Unidad Zacatenco.

Nota: Algunos datos del problema fueron cambiados.

Ejercicio 2-6.

Se tiene una línea de transmisión sin pérdidas, con porcelana de dialéctrico, que trabaja a una frecuencia de 1GHz. La longitud de la línea es de 20m y su impedancia característica es igual a 100 Ω. Al final de la línea se conecta una carga cuya impedancia es de 200 Ω. Encuentre el coeficiente de reflexión para voltajes en la carga y la impedancia de entrada de la línea. Calcule también la impedancia que se vería a distancias de λ/2 y λ, medidas desde el generador hacia la carga. 

Solución.

El coeficiente de reflexión para voltajes se obtiene empleando:

Para calcular la impedancia de entrada se empleará la siguiente ecuación, con l= 20 m y α= 0:

Antes de realizar la operación final es preciso calcular β.

Y sustituyendo ahora el valor de β en la expresión para Z_i:

Para poder calcular la impedancia vista en z= -l + λ/2 y z= -l + λ, y si se desea conocer cada posición en metros, es necesario obtener primero el valor de λ:

Donde λ₀ es lalongitud de onda en el espacio libre a la misma frecuencia de 1GHz.

De las siguientes ecuaciones se tiene que:

Por lo tanto, sustituyendo los valores especificados de z:

Ejercicio 2-5. Propagación en líneas acopladas.

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

Escuela Superior de Ingerniaría Mecánica y Eléctrica

Unidad Zacatenco

Nota: Algunos datos del problemas fueron cambiados.

Ejercicio 2.5.

Un generador de señales está conectado a una línea de transmisión cuya impedancia característica vale 100 Ω. La línea mide 7 metros y el dieléctrico en su interior tiene una permitividad reativa de 4. Al final de la línea se conecta una carga cuya impedancia de entrada vale 100 Ω. Si el generador tienen una resistencia interna de 3 Ω y un voltaje de salida en circuito abierto igual a 2 cos (4π x 10⁸)t V, encuentre:

a) Las expresiones matemáticas instantáneas para el voltaje y la corriente en cualquier punto de la línea.

b) La potencia promedio que se le entrega a la carga.

Solución.

De acuerdo con los datos proporcionados, el circuito se puede representar de la forma siguiente:

Como la línea está acoplada, la impedancia que se ve en todos los puntos de la línea es la misma y, por lo tanto, la impedanci de entrada también vale eso:

Z_entrada= 100 Ω

La parte izquierda del circuito se puede representar ahora como:

De donde:

Si se considera que la atenuación α es despreciable, entonces:

Por lo tanto, se tiene que para cualquier punto de la línea, a una distancia z a la derecha se las terminales de la entrada, el voltaje está dado por:

Y acordemente, la corriente es igual a:

Finalmente, se obtiene las expresiones pedidas en función del tiempo, para cualquier punto de la línea:

Así, por ejemplo, para el punto específico donde está la carga, las expresiones instantáneas se obtienen sustituyendo z= 7m en las ecuaciones anteriores. Por lo que se refiere a la potencia promedio entregada a la carga, ésta debe ser igual a la potenciapromedio de entrada, ya que se está considerando que lalínea no tiene pérdidas (α = 0). De allí que, a partir de los fasores de votaje y corriente.

Nótese que I^*(z) representaal conjugado de I(z).